【簡介：】燕尾定理，因此圖類似燕尾而得名，是五大模型之一，是一個關于三角形的定理（如圖△ABC，D、E、F為BC、CA、AB 上點，滿足AD、BE、CF 交于同一點O）。
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S△ABC中，S△AOB：S△AOC=S△BD

燕尾定理，因此圖類似燕尾而得名，是五大模型之一，是一個關于三角形的定理（如圖△ABC，D、E、F為BC、CA、AB 上點，滿足AD、BE、CF 交于同一點O）。

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S△ABC中，S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD；

同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF；

S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE。

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證法1

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下面的是第一種方法：利用分比性質(zhì)(若a/b=c/d，則（a-b）/b=（c-d）/d,[1]b≠0，d≠0,）[2]

(注：∵（a-b)/b=a/b-b/b=a/b-1,

(c-d)/d=c/d-d/d=c/d-1,

a/b=c/d

∴（a-b）/b=（c-d）/d

∵△ABD與△ACD同高

∴S△ABD：S△ACD=BD：CD

同理，S△OBD：S△OCD=BD：CD

利用分比性質(zhì)，得

S△ABD-S△OBD：S△ACD-S△OCD=BD：CD

即S△AOB：S△AOC=BD：CD

命題得證。

證法2

下面的是第二種方法：相似三角形法

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??證法1圖

已知：△ABC的兩條中線AD、CF相交于點O，連接并延長BO，交AC于點E。

求證：AE=CE 證明：

如圖，過點O作MN∥BC，交AB于點M，交AC于點N；

過點O作PQ∥AB，交BC于點P，交AC于點Q。

∵MN∥BC

∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD

∴MO：BD=AO：AD，NO：CD=AO：AD

∴MO：BD=NO：CD

∵AD是△ABC的一條中線

∴BD=CD

∴MO=NO

∵PQ∥AB

∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF

∴PO：BF=CO：CF，QO：AF=CO：CF

∴PO：BF=QO：AF

∵CF是△ABC的一條中線

∴AF=BF

∴PO=QO

∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO

∴△MOP≌△NOQ(SAS)

∴∠MPO=∠NQO

∴MP∥AC（內(nèi)錯角相等，兩條直線平行）

∴△BMR∽△BAE（R為MP與BO的交點），△BPR∽△BCE

∴MR：AE=BR：BE，PR：CE=BR：BE

∴MR：AE=PR：CE

∵MN∥BC，PQ∥AB

∴四邊形BMOP是平行四邊形

∴MR=PR（平行四邊形的對角線互相平分）

∴AE=CE

命題得證。

證法3

下面的是第三種方法：面積法

已知：△ABC的兩條中線AD、CF相交于點O，連接并延長BO，交AC于點E。

求證：AE=CE

證明：

如圖，

∵點D是BC的中點，點F是AB的中點

∴S△CAD = S△BAD，S△COD = S△BOD

∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD

即S△AOC（綠） = S△AOB（紅）

∵S△ACF = S△BCF，S△AOF = S△BOF

∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF

即S△AOC（綠） = S△BOC（藍）

∴S△AOB（紅） = S△BOC（藍）

∵S△AOE:S△AOB（紅） = OE:OB，S△COE:S△BOC（藍） = OE:OB

∴S△AOE:S△AOB（紅） = S△COE:S△BOC（藍）

∵S△AOB（紅） = S△BOC（藍）

∴S△AOE = S△COE

∴AE=CE

命題得證。

證法4

下面的是第四種方法：中位線法

已知：△ABC的兩條中線AD、CF相交于點O，連接并延長BO，交AC于點E。

求證：AE=CE

證明：

如圖，延長OE到點G，使OG=OB。

∵OG=OB

∴點O是BG的中點

又∵點D是BC的中點

∴OD是△BGC的一條中位線

∴AD∥CG（三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）

∵點O是BG的中點，點F是AB的中點

∴OF是△BGA的一條中位線

∴CF∥AG

∵AD∥CG，CF∥AG

∴四邊形AOCG是平行四邊形

∴AC、OG互相平分

∴AE=CE

命題得證。

證法5：因為ABCO是凹四邊形，根據(jù)共邊比例定理，命題得證

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推廣：共邊比例定理

四邊形ABCD（不一定是凸四邊形），設AC,BD相交于E

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則有BE ：DE=S△ABC ：S△ADC

此定理是面積法最重要的定理